本文目录
- 黎曼函数 证明连续性
- 为什么黎曼函数在无理点连续，它不是一些散点吗(点与点之间因为有有理数不是断开的吗)
- 黎曼函数的连续性是什么
- 为什么黎曼函数在[0,1]上连续而在有理数上不连续呢
- 黎曼函数在无理点的连续性如何证明
- 求证黎曼函数（如图）在x>1上连续
- 定义在区间[0，1]上的黎曼函数在无理点是否连续（）
- 函数在某点连续货或可导能推出存在某个邻域连续或可导嘛，如果不能为什么
- 定义域不联通的连续函数
黎曼函数 证明连续性
证明如下：
对任意X属于（0，1），任给正数w，考虑除X以外所有黎曼函数的函数值大于等于w的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式，且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的。
所以除X以外所有函数值大于等于w的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与X的最小距离为w ，则X 的半径为w的去心邻域中所有点函数值均在（0，w）中，从而黎曼函数在
时的极限为0。
扩展资料
解析延拓之后的ζ函数具有零点，他们分别是分布有序的平凡零点（所有负偶数），以及临界带
内的非平凡零点。以
表示虚部介于0与T之间的非平凡零点数量，则
遵循黎曼 - 冯·曼戈尔特公式：
。
为什么黎曼函数在无理点连续，它不是一些散点吗(点与点之间因为有有理数不是断开的吗)
有理点是稠密的，任取一个无理点，它的任意邻域都包含无穷多个有理点，在这些趋向于这个无理数的有理点上的值的极限永远都不是0（将无理点带入上式才识极限），所以不连续
黎曼函数的连续性是什么
函数y=f(x)在点x0的改变趋于0时，它的函数y0也趋近于0，就说函数y=f(x)在x0处连续。两人个函数（y1=f1(x1)，y2=f2(x2)）用一个大花括号括起来，就成为一个函数，不过这个函数的图形有两条线。
在初中时直接这样连起来就行，但一定要注意一个前提，就是这两人函数的定义域是一样的，并且在定义域内这两个函数都是连续的。这两条线相交的点一定是相等的。那么，如果有一个不连续，是不是就有可能出现这两条线的交点会出现函数值不相等的情况。
相关介绍：
黎曼函数（Riemann function）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，黎曼函数定义在上，其基本定义是：R(x)=1/q，当x=p/q(p,q都属于正整数，p/q为既约真分数)；R(x)=0，当x=0，1和(0,1)内的无理数。
黎曼函数在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。
函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。黎曼函数的不连续点集合即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。
为什么黎曼函数在[0,1]上连续而在有理数上不连续呢
规定x=0可写成0/1，因为x=1可写成1/1，x=2可写成2/1，....，x=k可写成k/1，此时R(x)=1，即x=0，1，2，...k，周期为1，所以黎曼函数又可写成：
证明：∀x0∈(-∞，+∞)，lim(x→x0)R(x)=0，即R(x)在一切无理点连续，在有理点不连续.
证：由R(x)周期性，只考虑，lim(x→x0)R(x)=0.
在中，分母为1的数：0/1，1/1
分母为2的数：1/2
分母为3的数：1/3，2/3
…
分母为k的数：至多k个，k是正整数
对任意正整数k，上分母≤k的有理数有限个
由函数极限定义：
∀ε＞0，找δ＞0，记k=中分母≤k的有理数记为r1，r2，…，rn
令δ=min{|ri-x0|} (1≤i≤n，ri≠x0)
∀x∈(0＜|x-x0|＜δ)：
(i)x无理数，R(x)=0
(ii)x有理数，分母＞k (前面规定k有限，这里分母＞k理所当然)
k=+1)＜1/1/ε=ε
合起来就有
|R(x)-0|＜ε
∴lim(x→x0)R(x)=0.
结论：黎曼函数在无理数连续，在很小一部分有理数不连续.
∀ε＞0，在上R(x)≥ε的点至多有限个.
黎曼函数在无理点的连续性如何证明
在无理点是连续的,在除0,1外的有理点不连续： 先证黎曼函数在0,1点连续. 下证对于任意一个正数a,总存在0的一个邻域{x|0《x《t}使得其中的任何一个数都满足：|f(x)-0|《a 对于邻域中的无理点显然成立.存在整数n使(1/n)《a,则t取(1 n)}中的有理数,其分母="" n).对于{x|0《x n,otherwise,x》=(1/n),从而|f(x)-0|《(1/n)《a,从而黎曼函数在0点连续. 下证对于任意一个正数a,总存在1的一个邻域{x|t《x《1}使得其中的任何一个数都满足：|f(x)-0|《a 对于邻域中的无理点显然成立.存在整数n使(1/n)《a,则t取((n-1) n)《x n,otherwise,x《=((n-1)/n),从而|f(x)-0|《(1/n)《a,从而黎曼函数在1点连续. 再证黎曼函数在所有有理点不连续. 设这个有理数为(p/q),(p,q)=1下证对于任意一个正数a,总存在(p/q)的一个邻域{x|0《|x-(p/q)|《t}使得其中的任何一个数都满足:|f(x)-0| |(r/s)-(p/q)| =|(rq-ps)|/|sq|》=1/|sq| =》 s》(1/qt),f((r/s))=(1/s)=""》 |f(x)-0|《a,从而黎曼函数在(p q)点的极限为0, 而f(p/q)=1/p》0 =》 黎曼函数在所有有理点不连续. 《/t}使得其中的任何一个数都满足:|f(x)-0| 《/a,从而黎曼函数在1点连续. 《/x《1}使得其中的任何一个数都满足：|f(x)-0|《a 《/a,从而黎曼函数在0点连续. 《/x《t}使得其中的任何一个数都满足：|f(x)-0|《a
求证黎曼函数（如图）在x>1上连续
对任意的d》1，考虑在【d，正无穷）上有0《1/n^x《=1/n^d，因为d》1，故级数(n=1到无穷)1/n^d收敛，于是由Weierstrass判别法知道函数项级数(n=1到无穷)1/n^x在【d，正无穷）上一致收敛，显然1/n^x在【d，正无穷）上连续，于是和函数Zeta(x)在【d，正无穷）上连续。由d的任意性知道Zeta(x)在（1，正无穷）上连续。证毕。
定义在区间[0，1]上的黎曼函数在无理点是否连续（）
定义在区间上的黎曼函数在无理点是否连续？（） A.不连续 B.取决于具体情况 C.尚且无法证明 D.连续 正确答案：D
函数在某点连续货或可导能推出存在某个邻域连续或可导嘛，如果不能为什么
不能，例如黎曼函数r(x)，x∈(0，1)，在有理数处是不连续的，在无理数处是连续的，但在无理数处任意小的邻域内，既有有理数，又有无理数，并不连续。
定义域不联通的连续函数
内容如下所示：一、黎曼函数R(x)：R(x)=1/q，当x=p/q(p,q为正整数，p/q为既约真分数)R(x)=0，当x=0,1及(0,1)内无理数R(x)在(0,1)内任何无理点都连续，任何有理点都不连续二、狄利克雷函数D(x)：D(x)=1，当x为有理数D(x)=0，当x为无理数D(x)在R上任意一点都不连续，且为第二间断点。
