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三角函数正余弦定理公式大全
高中数学定理公式非常多，所以一定需要总结归纳。为了让同学们对三角函数有个更深的记忆。下面是由我为大家整理的“三角函数正余弦定理公式大全”，仅供参考，欢迎大家阅读。
三角函数余弦定理公式大全
余弦定理
对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc·cosA
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cosB
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cosC
也可表示为：
cosC=(a^2 +b^2 -c^2)/ 2ab
cosB=(a^2 +c^2 -b^2)/ 2ac
cosA=(c^2 +b^2 -a^2)/ 2bc
这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。
延伸定理：第一余弦定理(任意三角形射影定理)
设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A
三角函数正弦定理公式
正弦定理
对于边长为 a, b和 c而相应角为 A, B和 C的三角形，有：
sinA / a = sinB / b = sinC/c
也可表示为：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
其中R是三角形的外接圆半径。
它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a是通过 A, B和 C三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形中(1)已知两个角和一个边求未知边和角(2)已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。
上面的推论是三角测量中常见情况，也是很容易就掌握的要领。
高一数学正弦余弦定理
正弦定理目录定理概述证明意义扩展展开本段定理概述 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆的半径） 正弦定理(Sinetheorem) （1）已知三角形的两角与一边，解三角形 （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 （3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。本段证明 步骤1 在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC 步骤2. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D. 连接DA. 因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度 因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠ACB. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。本段意义 正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。也就是任意三角形的边角关系。本段扩展余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 余弦定理性质 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c三角为A,B,C，则满足性质—— a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosA b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosB c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosC cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2·a·b) cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2·a·c) cosA=(c^2+b^2-a^2)/(2·b·c) （物理力学方面的平行四边形定则中也会用到） 第一余弦定理（任意三角形射影定理） 设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。余弦定理的证明 平面向量证法 ∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) （以上粗体字符表示向量） 又∵Cos(π-θ)=-CosC ∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|cosθ（注意：这里用到了三角函数的公式） 再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*cosC 即cosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b 同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。 平面几何证法 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2 b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac三角形面积公式 1.海伦-秦九韶公式: 设P=(a+b+c)/2 S△ABC=√ 解释：假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√ 而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)/2 2.S△ABC=(ab/2)·sinC=(bc/2)·sinA=(ac/2)·sinB=abc/(4R) 3.S△ABC=ah/2正弦定理的变形公式 (1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; (2)sinA:sinB:sinC=a:b:c; （条件同上） 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径） （4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形 sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinBsinB=bsinA/a
高中数学必修五第一章第一节用到的正弦余弦公式
正弦:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2Ra,b,c为三角形的三边,A,B,C为三边的对角.R为三角形外接圆的半径.变形:三角形面积S=1/2 *absinC=1/2 *acsinB=1/2 *bcsinA余弦:a^2=b^2+c^2-2bccosAb^2=a^2+c^2-2accosBc^2=a^2+b^2-2abcosC变形:cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
三角形余弦定理公式大全
高中数学是一个非常让人头痛的学科，但是还有有许多同学摆正态度积极学习，为了更好的帮助他们提高成绩。下面是由我为大家整理的“三角形余弦定理公式大全”，仅供参考，欢迎大家阅读。
三角形余弦定理公式大全
余弦定理(第二余弦定理)
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值
我本段
余弦定理性质
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质--
a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosA
b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB
c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC
cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)
cosB = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c)
cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)
(物理力学方面的平行四边形定则中也会用到)
第一余弦定理(任意三角形射影定理)
设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。
我本段
余弦定理证明
平面向量证法
∵如图，有a+b=c (平行四边形定则:两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小) ∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)
(以上粗体字符表示向量)
又∵cos(π-θ)=-Cosθ
∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ(注意:这里用到了三角函数公式)
再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC
即 cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b
同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。
平面几何证法
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得:
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2
b^2=(sinB2+cosB2)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
我本段
作用
(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角
(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。
(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。)
判定定理一(两根判别法):
若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取
减号的值
①若m(c1,c2)=2,则有两解
②若m(c1,c2)=1,则有一解
③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。
注意:若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。
判定定理二(角边判别法):
一当a》bsinA时
①当b》a且cosA》0(即A为锐角)时，则有两解
②当b》a且cosA《=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)
③当b=a且cosA》0(即A为锐角)时，则有一解
④当b=a且cosA《=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)
⑤当b
二当a=bsinA时
①当cosA》0(即A为锐角)时,则有一解
②当cosA《=0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解)
三当a
解三角形公式 例如:已知△ABC的三边之比为5:4:3，求最大的内角。
解 设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.
由三角形中大边对大角可知:∠A为最大的角。由余弦定理
cos A=0
所以∠A=90°.
再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之长。
解 由余弦定理可知
BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A
=4+9-2×2×3×cos60
=13-12x0.5
=13-6
=7
所以BC=√7. (注:cos60=0.5,可以用计算器算)
以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。
其他
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理。
30° 45° 60°
Sin 1/2 √2/2 √3/2
Cos √3/2 √2/2 1/2
Tan √3/3 1 √3
拓展阅读：三角形的三边关系是什么
三角形三边关系是三角形三条边关系的定则，具体内容是在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形三边关系是三角形三条边关系的定则，具体内容是在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
设三角形三边为a,b,c则a+b》c,a》c-b，b+c》a,b》a-c，a+c》b,c》b-a
直角三角形
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
余弦定理公式推导过程
余弦定理公式是高中数学重点公式之一，那么余弦定理公式推导过程是什么呢?下面是由我为大家整理的“ 余弦定理公式推导过程”，仅供参考，欢迎大家阅读。
余弦定理公式推导过程
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC2=AD2+DC2
b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2，
b2=(sinB*c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2，
b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2，
b2=c2+a2-2accosB，
cosB=(c2+a2-b2)/2ac。
拓展阅读：余弦定理的定义和常见变形
1.余弦定理
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即a2=a2=b2+b2+c2−c2−2bccosA2bccosA，b2=b2=c2+c2+a2−a2−2cacosB2cacosB，c2=c2=a2+a2+b2−b2−2abcosC2abcosC，
2.余弦定理的常见变形
(1)cosA=b2+c2−a22bccosA=b2+c2−a22bc;
(2)cosB=a2+c2−b22accosB=a2+c2−b22ac;
(3)cosC=a2+b2−c22abcosC=a2+b2−c22ab。
3.利用余弦定理可以解决的问题
(1)已知三边，求各角;
(2)已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角;
(3)已知两边和其中一边的对角，求其他角和边。
高一数学三角形余弦公式大全
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是高一学生学习的重点，下面是我给大家带来的高一数学三角形余弦公式，希望对你有帮助。
高一数学三角形余弦公式
对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：
a²=b²+c²-bc·cosA
b²=a²+c²-ac·cosB
c²=a²+b²-ab·cosC
也可表示为：
cosC=(a²+b²-c²)/ab
cosB=(a²+c²-b²)/ac
cosA=(c²+b²-a²)/bc
这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。
高一数学三角形余弦定理含义
三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。
高一数学三角形余弦定理证明
平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|Cos(π-θ)
(以上粗体字符表示向量)
又∵Cos(π-θ)=-Cosθ
∴c²=a²+b²-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)
再拆开，得c²=a²+b²-2abcosC
即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b
同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。
平面几何证法
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC²=AD²+DC²
b²=(sinBc)²+(a-cosBc)²
b²=(sinB*c)²+a²-2accosB+(cosB)²c²
b²=(sinB2+cosB2)c²-2accosB+a²
b²=c²+a²-2accosB
求高一数学余弦定理公式
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。
