本文目录
- Delaunay三角剖分算法的准则特性
- 半球体在MATLAB中属于空间散乱点还是三维凸体，怎么对他进行三角剖分呢
- 谁对opencv里面的delaunay三角剖分方法比较熟悉的
- 区域的Delaunay三角剖分
- matlab 有个函数英文看不懂，名字叫delaunay，功能是用三角形划分区域
- MATLAB中Delaunay三角剖分怎么求各个离散点法矢，并且在图上画出法矢信息
- 点集的Delaunay三角剖分方法
- 带权限定Delaunay三角化的算法步骤及实现
Delaunay三角剖分算法的准则特性
准则:要满足Delaunay三角剖分的定义，必须符合两个重要的准则：1、空圆特性：Delaunay三角网是唯一的（任意四点不能共圆），在Delaunay三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在。如下图所示：2、最大化最小角特性：在散点集可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。从这个意义上讲，Delaunay三角网是“最接近于规则化的“的三角网。具体的说是指在两个相邻的三角形构成凸四边形的对角线，在相互交换后，六个内角的最小角不再增大。如下图所示：特性:以下是Delaunay剖分所具备的优异特性：1.最接近：以最近的三点形成三角形，且各线段(三角形的边)皆不相交。2.唯一性：不论从区域何处开始构建，最终都将得到一致的结果。3.最优性：任意两个相邻三角形形成的凸四边形的对角线如果可以互换的话，那么两个三角形六个内角中最小的角度不会变大。4.最规则：如果将三角网中的每个三角形的最小角进行升序排列，则Delaunay三角网的排列得到的数值最大。5.区域性：新增、删除、移动某一个顶点时只会影响临近的三角形。6.具有凸多边形的外壳：三角网最外层的边界形成一个凸多边形的外壳。
半球体在MATLAB中属于空间散乱点还是三维凸体，怎么对他进行三角剖分呢
可以。先用用delaunay三角剖分，然后用trimesh命令显示。假设你的三维散点的空间坐标分别存在向量x，y，z（列向量）中。照如下方式操作。tri=delaunay(x,y)%将散点在XoY平面做delaunay三角剖分。trimesh(tri,x,y,z);%显示曲面，利用上一步的三角剖分结果，将空间的三角形画出来。如果效果不好，那是因为你的点云数据不理想，比如不够稠密，不够均匀。可以通过插值解决。
谁对opencv里面的delaunay三角剖分方法比较熟悉的
具体什么不太懂，不过我收藏了一个以前别人讲这方面的东西，你看看，希望对你有帮助。Delaunay三角网是俄国数学家B.Delaunay于1934年发现的。关于Delaunay三角网构建的研究有许多，但由于本课题具有数据量大的特征，不宜直接沿用已有构建方法，笔者针对本课题数据特征，研究获得了适应本课题，速度较快的构建方法。Delaunay三角网有一个特性，每个三角网形成的外接圆都不包含其他参考点。利用这一个性质，我们可以直接构成Delaunay三角网：一、建立第一个三角形1、判断用来建立TIN的总脚点数，小于3则报错退出。2、第一点的选择：链表的第一节点，命名为Pt1;3、第二点的选择：A.非Pt1点；B.距Pt1最近命名为Pt24、第三点的选择A.非Pt1，Pt2点；B.与Pt1，Pt2点组成的三角形的外接圆内无其他节点；C.与Pt1，Pt2组成的三角形中的角Pt1Pt3Pt2最大。命名为Pt35、生成三边，加入边表6、生成第一个三角形，组建三角形表二、扩展TIN1、从边表头取一边，要求：该边flag标志为假（只在一个三角形中）2、从点链表中搜索一点，要求：A、与边中的Pixel3在边的异侧；B、该点与边组成的三角形的外接圆内无其他点C、满足上面两条件的点中角Pt1Pt3Pt2最大的点为Pt3。3、判断新生成的边，如果边表中没有，则加入边表尾，设定标志flag为假，如果有，则设定该边flag为真。4、将生成的三角形假如三角形表5、设定选中的边的标志flag为真6、转至1，直至边表边的标志flag全部为真。数据结构：struct Pixel//脚点数据{double x,y,z,g;bool flag;};struct List//数据链表{Pixel *pixel;List *next;};struct Line//三角形边{Pixel *pixel1;//三角形边一端点Pixel *pixel2;//三角形边另一端点Pixel *pixel3;//三角形边所对顶点bool flag;};struct Linelist//三角形边表{Line *line;Linelist *next;};struct Triangle//三角形表{Line *line1;Line *line2;Line *line3;Triangle *next;};以下是我程序中关于建网的部分：// DelaunayTIN.cpp: implementation of the CDelaunayTIN class.////////////////////////////////////////////////////////////////////////#include "stdafx.h"#include "Reconstruction.h"#include "DelaunayTIN.h"#include "MyMath.h"#include 《math.h》#include "ListControl.h"#ifdef _DEBUG#undef THIS_FILEstatic char THIS_FILE=__FILE__;#define new DEBUG_NEW#endif//////////////////////////////////////////////////////////////////////// Construction/Destruction//////////////////////////////////////////////////////////////////////CDelaunayTIN::CDelaunayTIN(){}CDelaunayTIN::~CDelaunayTIN(){}///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////函数名：CreateDelaunayTIN//编写者：Polaris//参考资料：//功能：用给定的数据链表数据，组建Delaunay不规则三角网//输入参数：数据链表list;区域范围(XMin,YMin),(XMax,YMax)//输出参数：不规则三角网首三角形地址//备注：/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////struct Triangle * CDelaunayTIN::CreateDelaunayTIN(List *list){//组建第一个三角形CMyMath MyMath;CListControl ListControl;struct List *node;struct Pixel *pt1,*pt2,*pt3;bool flag;struct Triangle *TIN;pt1=list-》pixel;pt2=list-》next-》pixel;node=list-》next-》next;while(node!=NULL){if(MyMath.Calculate2PtDistanceIn3D(pt1-》x,pt1-》y,pt1-》z,node-》pixel-》x,node-》pixel-》y,node-》pixel-》z)《MyMath.Calculate2PtDistanceIn3D(pt1-》x,pt1-》y,pt1-》z,pt2-》x,pt2-》y,pt2-》z)){pt2=node-》pixel;}node=node-》next;}node=list-》next;pt3=NULL;while(node!=NULL){if(node-》pixel==pt1 || node-》pixel==pt2){node=node-》next;continue;}if(pt3==NULL){pt3=node-》pixel;}else{if((pow(MyMath.Calculate2PtDistanceIn2D(pt1-》x,pt1-》y,node-》pixel-》x,node-》pixel-》y),2)+pow(MyMath.Calculate2PtDistanceIn2D(pt2-》x,pt2-》y,node-》pixel-》x,node-》pixel-》y),2)-pow(MyMath.Calculate2PtDistanceIn2D(pt1-》x,pt1-》y,pt2-》x,pt2-》y),2))/(2*MyMath.Calculate2PtDistanceIn2D(pt1-》x,pt1-》y,node-》pixel-》x,node-》pixel-》y)*MyMath.Calculate2PtDistanceIn2D(pt2-》x,pt2-》y,node-》pixel-》x,node-》pixel-》y))《(pow(MyMath.Calculate2PtDistanceIn2D(pt1-》x,pt1-》y,pt3-》x,pt3-》y),2)+pow(MyMath.Calculate2PtDistanceIn2D(pt2-》x,pt2-》y,pt3-》x,pt3-》y),2)-pow(MyMath.Calculate2PtDistanceIn2D(pt1-》x,pt1-》y,pt2-》x,pt2-》y),2))/(2*MyMath.Calculate2PtDistanceIn2D(pt1-》x,pt1-》y,pt3-》x,pt3-》y)*MyMath.Calculate2PtDistanceIn2D(pt2-》x,pt2-》y,pt3-》x,pt3-》y))){pt3=node-》pixel;}}node=node-》next;}//LineListLinelist *linehead,*linenode,*linelast;Line *ln1,*ln2,*ln3;linenode=new Linelist;linenode-》line=new Line;linenode-》line-》pixel1=pt1;
区域的Delaunay三角剖分
从上文中介绍的对点集的Delaunay三角剖分方法可以知道，点集的Delaunay的三角剖分方法是最简单、最基础的，所以，可以考虑在点集的Delaunay三角剖分方法的基础上获得区域的Delaunay三角剖分，实际上，区域的Delaunay三角剖分方法正是这样做的。
为了利用点集的Delaunay三角剖分方法，首先应该将剖分对象从区域转换到点集，而为了实现上述目的，需要经过两个过程:布点、离散边界。布点即是向区域内插入一些合适的点，离散边界即是将区域边界分割成若干小线段。在进行上述处理后，就将需要剖分的对象从一个区域转变成一个点集，点集中的点为向区域内插入的点和边界离散后形成小线段的端点;然后采用点集的Delaunay三角剖分方法，如Lawson算法或Bowyer-Wat-son算法，对从区域转换过来的点集进行Delaunay三角剖分操作;最后需要删除那些在区域之外的三角形，因为对一个点集进行Delaunay三角剖分操作，最后获得的三角剖分的范围是该点集的凸壳，而点集的凸壳绝大多数情况下与需要剖分的区域不一致，通常情况下是凸壳的范围大于需要剖分的区域，因此那些属于凸壳但不属于需要剖分的区域的三角形需要删除。
区域的Delaunay三角剖分方法可以概括为3个步骤:
第一步:布点并离散边界，将剖分对象从区域转换为点集。根据剖分规模或想要得到的三角形单元的大概边长，向区域内插入一系列的内部点，并将内外边界离散成一系列的小线段。图3.14(a)为某剖分区域，图3.14(b)为向区域内布点的结果，图3.14(c)则时在布点之后进行离散边界的结果。
图3.14 二维区域布点与边界离散
第二步:对点集进行Delaunay三角剖分操作。将离散后的内外边界的端点和根据需要布设的内部点组成输入点集，采用逐点插入法(Lawson算法或Bowyer-Watson算法)将上述点集进行Delaunay三角剖分，详细步骤请参见本章中点集的Delauany三角剖分方法，最后点集的Delaunay三角剖分如图3.15所示。剖分区域之外的三角形只能是由同一条边界上线段的端点组成，不可能由内部点或不同边界(如2个顶点位于外边界，1个顶点位于内边界)上端点组成区域之外的三角形，所以，判断一个三角形是否多余，首先判断该三角形的3个点是否位于同一条边界，若是，该三角形有可能为多余三角形，但不一定，如图3.16中由点9、10和11组成的三角形位于区域内部，但由点21、22和23组成的三角形却在区域外;因此，三角形的3个顶点位于同一条边界上只是必要条件，还需要进一步判断。
图3.15 点集的Delaunay三角剖分(未进行边界处理)
第三步:边界处理。根据区域边界，删除多余的三角形，得到区域的Delaunay三角剖分。
完整的边界处理方法如下:
(1)将区域的每条边界离散后按照固定顺序排列，边界上端点的ID也依次排列。需要特别注意的是，外边界必须按照逆时针排列，外边界上的端点编号也依次由小到大排列，如图3.16所示，从点0到点36依次排列;所有内边界离散后按照顺时针排列，同样，每条内边界上端点编号依次从小到大排列。
(2)依次判断点集的Delaunay三角剖分中每个三角形的三个顶点是否位于同一边界，若某个三角形的3个顶点位于同一边界上，将3个顶点由小到大排序，并按照排序后点号组成一个新的三角形，计算该新三角形的面积，若面积＞0，则表示该三角形为区域内部三角形，保留;若面积＜0，则表示该三角形为区域外三角形，删除。
图3.16 边界处理
图3.17 二维区域的Delaunay三角剖分
如由点0、1和36组成的三角形，排序后依次为0、1、36，新的三角形面积＞0，表示该三角形为区域内部三角形，保留;由点21、22和23组成的三角形按照逆时针规则正常时排序为23、22、21，排序后依次为21、22、23，新的三角形面积＜0，表示该三角形为区域外部三角形，删除。
边界处理后，得到最终的区域的Delaunay三角剖分，如图3.17所示。
布点和离散边界的代码详见推进波前法代码中的函数CreateInnerPoint()和Create-BoundaryPoint();点集的Delauany三角剖分方法的完整代码详见Bowyer-Watson算法的代码。以下为进行边界处理的代码，函数DeletedInvalidTriangle()用于删除剖分区域之外的三角形，函数AreaOfTrgl()用于计算三角形的面积。
三维地质建模方法及程序实现
三维地质建模方法及程序实现
matlab 有个函数英文看不懂，名字叫delaunay，功能是用三角形划分区域
它存的是点的索引，所以3个数能代表3个点。比如(1, 2, 4)就是就是第1点，第2点，第4点组成的三角形。而这些"第几点"是指哪个列表里的？看注释的第一句话：
TRI = delaunay(X,Y) creates a 2-D Delaunay triangulation of the points (X,Y), where X and Y are column-vectors.
翻译一下就是：TRI = delaunay(X,Y) 会创建点集(X, Y)的2D Delaunay三角剖分，其中X和Y分别是两个列向量。
——换句话说，X和Y如果有n行，那么(X,Y)就代表n个点。而之后TRI矩阵里的数就是指向这些点的序号。1就是(X(1), Y(1)), 2就是(X(2), Y(2))...
MATLAB中Delaunay三角剖分怎么求各个离散点法矢，并且在图上画出法矢信息
N=10;=meshgrid(1:N);z=peaks(N); %这里用matlab自带peaks函数产生的数据代替你的点云数据x=x(:);y=y(:);z=z(:);tri = delaunay(x,y); %三角网格划分tr = TriRep(tri,); %三角类表示每个三角形面元P = incenters(tr); %求每个三角面元的内接圆圆心fn = faceNormals(tr); %求每个三角面元的法向量trisurf(tri,x,y,z, ... ’FaceColor’, ’cyan’, ’faceAlpha’, 0.8); %画出曲面axis equal;hold on;quiver3(P(:,1),P(:,2),P(:,3), ... fn(:,1),fn(:,2),fn(:,3),1, ’color’,’r’); %画出法向量hold off;
点集的Delaunay三角剖分方法
3.2.1.1 基本理论
B.Delaunay于1934年提出了Delaunay三角网格的概念，它是Voronoi图(简称V图)的几何对偶图，具有严格的数学定义和完备的理论基础。
图3.1 Voronoi图(虚线)及对应的Delaunay三角剖分(实线)
3.2.1.1.1 Voronoi图
假设V={v1，v2，…，vN}，N≥3是欧几里得平面上的一个点集，并且这些点不共线，四点不共圆。用d(vi，vj)表示点vi与vj间的欧几里得距离。
设x为平面上的点，则:
区域V(i)={x∈Ed(x，vi)≤d(x，vj)，j=1，2，…，N，j≠i}称为Voronoi多边形，也称为该点的邻域。点集中所有点的Voronoi多边形组成Voronoi图，如图3.1所示。
平面上的Voronoi图可以看做是点集V中的每个点作为生长核，以相同的速率向外扩张，直到彼此相遇为止而在平面上形成的图形。除最外层的点形成开放的区域外，其余每个点都形成一个凸多边形。
3.2.1.1.2 Delaunay三角剖分
Delaunay三角形网格为V图的几何对偶图。在二维平面中，点集中若无四点共圆，则该点集V图中每个顶点恰好是3个边的公共顶点，并且是3个Voronoi多边形的公共顶点;上述3个Voronoi多边形所对应的点集中的点连成的三角形称为与该Voronoi顶点对应的Delaunay三角形，如图3.1所示。如果一个二维点集中有四点共圆的情况，此时，这些点对应的Voronoi多边形共用一个Voronoi顶点，这个公共的Voronoi顶点对应多于3个Voronoi多边形，也就是对应于点集中多于3个的点;这些点可以连成多于一个的三角形。此时，可以任意将上述几个点形成的凸包划分为若干三角形，这些三角形也称为和这个Voronoi顶点对应的Delaunay三角形。
所有与Voronoi顶点对应的Delaunay三角形就构成了Delaunay三角剖分。当无退化情况(四点共圆)出现时，点集的Delaunay三角剖分是唯一的。
3.2.1.1.3 Delaunay三角剖分的特性
Delaunay三角剖分具有两个重要特性:
(1)最小角最大化特性:即要求三角形的最小内角尽量最大，具体地说是指在两个相邻的三角形构成凸四边形的对角线，在相互交换后，6个内角的最小角不再增大，并且使三角形尽量接近等边。
(2)空外接圆特性:即三角形的外接圆中不包含其他三角形的顶点(任意四点不能共圆)，该特性保证了最邻近的点构成三角形，使三角形的边长之和尽量最小。
3.2.1.2 常用算法
Delaunay三角剖分方法是目前最流行的通用的全自动网格生成方法之一。比较有效的Delaunay三角剖分算法有分治算法、逐点插入法和三角网生长法等(Tsai，1993)，其中逐点插入法由于其算法的简洁性且易于实现，因而获得广泛的应用。其主要思路是先构建一个包含点集或区域的初始网格，再依次向初始网格中插入点，最后形成Delaunay三角剖分。
采用逐点插入法建立Delaunay三角网的算法思想最初是由Lawson于1977年提出的(Lawson，1977)，Bowyer和Watson等先后对该算法进行了发展和完善(Bowyer，1981;Watson，1981)。目前涌现出的大量逐点插入法中，主要为以Lawson算法代表的对角线交换算法和以Bowyer-Watson算法代表的空外接圆法。
3.2.1.2.1 Lawson算法
Lawson算法的主要思想是将要插入的数据点逐一插入到一个已存在的Delaunay三角网内，然后再用局部优化算法(Local Optimization Procedure，LOP)优化使其满足Delau-nay三角网的要求，其主要步骤如下:
图3.2 包含点集的三角形
第一步:构建一个三角形或多个三角形(通常情况下为一个三角形，该三角形也称超级三角形)，使点集中所有点都落在该三角形内，如图3.2所示。另外，也可以用一个矩形包围所有点，再将矩形对角线相连生成一对三角形作为初始网格。
第二步:将包含点集的三角形作为第一个三角形单元加入初始三角形网格中。
第三步:依次插入一个点P，并在三角网中找出包含P的三角形T，此时存在3种情况:
(1)P在三角形T内部，即P不落在三角形T的边或顶点上，把P与T的3个顶点相连，生成3个新的三角形，将新生成的三角形加入三角网，删除三角形T，如图3.3(a)所示。
(2)P在三角形T的一条边上，但不在顶点上，把P与T的3个顶点中与P相对的顶点相连，生成两个新的三角形，将新生成的三角形加入三角网，删除三角形T，如图3.4(b)所示。
(3)P在三角形T顶点上，不需处理，进行下一步操作。实际上，若点集中不存在相互重合的点，则P落在三角形T顶点上这种情况不会发生。
图3.3 向三角形网格中插入点P
上一步处理中，直接将三角形的顶点与P相连生成新的三角形单元不一定满足Delau-nay三角剖分的要求，因此，需要采用LOP算法对局部三角形进行优化。该算法的主要操作是进行边交换使新生成的三角形单元及其相邻的单元满足空外接圆特性。这样一个重要的过程其实非常简单，它就是运用Delaunay三角剖分的空外接圆特性对由两个有共用边的三角形组成的四边形进行判断，如果其中一个三角形的外接圆包含第四个顶点，则将这个四边形的对角线交换，如图3.4所示，在交换对角线后两个新三角形都满足空外接圆特性。
当两个有共用边的三角形具有相同的外接圆时，即存在四点共圆情况，此时，按照空外接圆特性，可以交换对角线也可以不交换对角线，那么这时候就要按照最小角最大化特性进行处理。具体做法是，先计算不进行边交换前三角形对中的6个内角的最小值，再计算进行边交换后6个内角的最小值，判断边交换前、后最小角是否变大，若是，交换，否则，不交换。上述操作就是为了尽量满足最小角最大化特性。
图3.4 四点不共圆时的边交换
图3.5 点集的Delaunay三角网格
第四步:在所有点被插入之后，从网格中删除多余的三角形单元，最后得到的网格就是点集的Delaunay三角网格，如图3.5所示。
按照上述算法，编程环境为VC++，Lawson算法的代码如下，其中参数CSurf*surf表示网格平面，网格结点和单元分别存储在成员pNodes和pTrgls中。函数IsPointInTrian-gle(x，y，tx［0］，ty［0］，tx［1］，ty［1］，tx［2］，ty［2］)用于判断点(x，y)是否落在由三点(tx［0］，ty［0］)、(tx［1］，ty［1］)和(tx［2］，ty［2］)组成的三角形中;函数LOP(CTrgl*ta，CTrgl*tb)采用LOP方法优化三角形对ta和tb。
三维地质建模方法及程序实现
三维地质建模方法及程序实现
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3.2.1.2.2 Bowyer-Watson算法
Bowyer-Watson算法也是一种先形成初始网格，再逐步插入数据点进行细化的算法。与Lawson算法不同的是，Bowyer-Watson算法插入点时需要判断网格中三角形单元的外接圆是否包含该结点，而不是判断该三角形单元本身是否包含该结点;另外一个区别是Bowyer-Watson算法在每次插入一个点之后不需要像Lawson算法那样用LOP算法优化三角网。
Bowyer-Watson算法的主要步骤如下:
第一步:建立一个包含整个点集的初始网格。通常情况下初始网格为一个三角形或由一个矩形连接对角线得到的一对三角形。
第二步:依次将数据点插入到最近更新后得到的网格中，形成新的网格并更新，分为三小步:
(1)插入一个新点 P 到现有的 Delaunay 三角网格中，如图 3.6(a)所示。
(2)寻找并删除所有外接圆包含 P 点的三角单元，形成一个 Delaunay 空腔。图3.6(a)中的阴影三角形为外接圆包含 P 点的三角单元; 图 3.6(b)所示为形成的一个Delaunay 空腔。
(3)连接 P 点和 Delaunay 空腔边界上所有各点，形成新的 Delaunay 三角网格，如图3.6(c)所示。
图3.6 向三角形网格中插入点
第三步:删除多余的三角形，即如果某个三角形中的某个结点不属于原始的点集，则删除该三角形;最后结果即为点集的Delaunay三角剖分网格。
按照上述算法，编程环境为VC++，Bowyer-Watson算法的完整代码如下，其中参数CSurf*surf表示网格平面，网格结点和单元分别存储在成员pNodes和pTrgls中。函数TriangleInCircle()的作用是判断点(xp，yp)是否落在由三点(x1，y1)、(x2，y2)和(x3，y3)组成的三角形的外接圆内。
三维地质建模方法及程序实现
三维地质建模方法及程序实现
三维地质建模方法及程序实现
三维地质建模方法及程序实现
采用上述算法和代码，对一个包含46个点的点集进行Delaunay剖分，图3.7(a)所示为输入的点集，得到拥有74个三角形单元的网格，如图3.7(b)所示。
图3.7 Bowyer-Watson算法剖分实例
带权限定Delaunay三角化的算法步骤及实现
1.二维的算法步骤及实现
带权的限定Delaunay三角剖分（Weighted CDT）的算法的输入是一个包含限定线段和限定点的平面直线图（planar straight line graph，简称PSLG），算法的输出是与限定条件（限定点和限定线段）一致的一个三角形集合。
算法4.7二维的带权限定Delaunay三角剖分
ConformingWeightedDelaunayTriangulation（PSLG）
{
规范化算法
调用算法WeightAssignment2d对PSLG中的点赋权值
建立初始大三角形
调用二维带权Delaunay空洞算法（算法4.2）生成受限点集的带权Delaunay三角剖分；
调用二维恢复受限边的算法（算法4.5）生成边界一致的带权Delaunay三角网格
删除边界外的多余的三角形，得到边界一致的带权限定Delaunay三角剖分
}
2.三维的算法步骤及实现
加权的限定Delaunay剖分的算法步骤：
输入：一个分段线性复合形（a piecewise linear complex）
输出：满足受限条件的具有带权Delaunay性质的四面体集合
算法三维的带权限定Delaunay四面体剖分算法：
ConformingWeightedDelaunayTetrahedralization（PLC）
{
调用算法4.4 WeightAssignment3d对规范化后的点和边赋权值；
建立初始大四面体
for所有的PLC中的平面
将该平面通过坐标变换转换到XOY平面上；
调用算法WeightedConstrainDelaunayTriangulation进行二维的带权限定Delaunay三角剖分
将得到的二维带权限定Delaunay三角网格坐标变换到空间中其原来位置
endfor
调用算法三维带权Delaunay空洞算法生成三维点集的带权Delaunay四面体剖分
调用算法RecoverConformSegments和算法RecoverConformFacets恢复受限边和受限面
删除边界外的多余的四面体，得到边界一致的带权限定Delaunay四面体剖分
}
