本文目录
- 著名的高中数学定理有哪些
- 递归数列求极限
- 为什么 阿克曼函数不是原始递归函数
- 线性递归数列a(n+1)=pa(n)+qa(n-1),a(1)=A,a(2)=B,通项公式的形式及推导要求具体，简单本人高中水平谢
著名的高中数学定理有哪些
买那本华东师范大学出版社的《高中数学竞赛多功能题典》，后面有重要的竞赛的定理，概念 。1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点:旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。2.代数周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。平面凸集、凸包及应用*。
递归数列求极限
可以这样看|an+1-A|=|f(an)-f(A)|=......=k|an-A| = |f(an-1)-f(A)| = k²|an-1 - A| .... =k^n |a1-A||k|小于1时左边是趋于0的，由平逼有数列我、趋于0
为什么 阿克曼函数不是原始递归函数
阿克曼函数是非原始递归函数的例子
它需要两个自然数作为输入值，输出一个自然数。它的输出值增长速度非常高，仅是(4,3)的输出已大得不能准确计算。
1920年代后期，数学家大卫·希尔伯特的学生Gabriel Sudan和威廉·阿克曼，当时正研究计算的基础。Sudan发明了一个递归却非原始递归的Sudan函数。1928年，阿克曼又独立想出了另一个递归却非原始递归的函数。他最初的念头是一个三个变量的函数A(m,n,p)，使用康威链式箭号表示法是m→n→p。阿克曼证明了它是递归函数。希尔伯特在On the Infinite猜想这个函数不是原始递归。阿克曼在On Hilbert’s Construction of the Real Numbers证明了这点。后来Rozsa Peter和Raphael Robinson定义了一个类似的函数，但只用两个变量。定义：
{ n+1; m=0,n》0 A(m,n) = { A(m-1,1); n=0,m》0 { A(m-1,A(m,n-1)) n》0,m》0
求 ack(3,3) 的返回值：
int ack(int m,int n) { if(m == 0) return n+1; else if(n == 0) return ack(m-1,1); else return ack(m-1,ack(m,n-1)); }
0，ack(0,1)=2; ack(1,0)=ack(0,1)=2; ack(1,1)=ack(0,ack(1,0))=ack(1,0)+1=3; //容易口算出来的几个值1,ack(1,n)=ack(0,ack(1,n-1))+1=ack(1,n-1)+1; //递推式 由递推式得：ack(1,n)=n+1; ps：递推式形如 A(n) = A(n-1) + 1，求A(n)。 用的是高中数学知识，方法是“累加法”(加起来然后消掉)，是否想起来了？2，ack(2,n)=ack(1,ack(2,n-1))=ack(2,n-1)+2; //递推式 由递推式得：ack(2,n)=2n+3; ps：A(n) = A(n-1) + 2，方法同 13,ack(3,n)=ack(2,ack(3,n-1))=2*ack(3,n-1)+3; //递推式 即：ack(3,n)+3=2(ack(3,n-1)+3) 得: ack(3,n)+3=(ack(3,1)+3)*2n-1; 又ack(3,1)=2ack(3,0)+3 ack(3,0)=a(2,1)=5 所以ack(3,1)=13; 所以 ack(3,n)=2n+3 - 3; ps：递推式形如 A(n) = 2*A(n-1) + 3，求A(n)。 方法是“拆分常数”，拆分常数3后 A(n) + 3 = 2*( A(n-1) + 3 )， 令B(n) = A(n) + 3，即有 B(n) = 2*B(n-1)，等比数列啊，B(n)=B(1)*2n-1， 求出B(1),得到B(n),即可得到A(n)。所以：ack(3,3)=61;计算机运行该程序时一共调用了ack()函数2432次……
线性递归数列a(n+1)=pa(n)+qa(n-1),a(1)=A,a(2)=B,通项公式的形式及推导要求具体，简单本人高中水平谢
楼上的观念有点问题，推导过程是一定要知道的，仅背结论对理解没什么帮助。只不过结论中的常数未必要用A,B,p,q来显式表示，那个才真是没有意义。如果x^2=px+q的两个复根是u,v，那么a(n+1)-u*a(n)=v这说明a(n+1)-u*a(n)是等比数列，即a(n+1)-u*a(n)=S*v^n1)如果u和v不相等，那么还有另一个等式a(n+1)-v*a(n)=u=T*u^n消去a(n+1)即得a(n)的通项一定是X*u^n+Y*v^n的形式。2)如果u和v相等，那么没有多余的工具了，要直接处理a(n+1)-u*a(n)=S*u^n。利用a(n+1)-u*a(n)=S*u^nu * ...u^{n-1} * 把这n个式子加起来就行了，a(n+1)-u^{n-1}a(1)=S*n*u^n，也就是说a(n)有u^n(X+nY)的形式。
