本文目录
- 狄利克雷函数的周期性怎么解释
- 证明狄利克雷函数是周期函数，并且任何有理数皆为其周期
- 怎么验证狄利克雷函数是周期函数
- 什么是狄立克雷函数怎么证明它是偶函数和周期函数
- 狄利克雷函数是周期
- 狄利克雷函数为什么是周期函数
- 判断狄利克雷函数是不是周期函数
- 狄利克雷函数怎么证明是周期函数
狄利克雷函数的周期性怎么解释
狄利克雷函数的周期性：狄利克雷函数即f(x)=1(当x为有理数）；f(x)=0(当x为无理数）；而周期函数的定义是对任意x，若f(x)=f(x+T)，则f(x)是周期为T的周期函数。
显然，取T为任意一个确定的有理数，则当x是有理数时f(x)=1，且x+T是有理数，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；当x是无理数时，f(x)=0，且x+T是无理数，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。综上，狄利克雷函数是周期函数，其周期可以是任意个有理数，所以没有最小正周期。
狄利克雷函数
狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。
证明狄利克雷函数是周期函数，并且任何有理数皆为其周期
任取一个有理数q
(1)对任意的有理数x，x+q为有理数
此时x和x+q均为有理数，所以
D(x)=1=D(x+q)
(2)对于任意的无理数x，x+q为无理数
此时x和x+q均为无理数，所以
D(x)=0=D(x+q)
综合(1),(2)得
q为D(x)的周期
又q的取法是任意的
所以
狄利克雷函数是周期函数，并且任何有理数皆为其周期
怎么验证狄利克雷函数是周期函数
方法：
狄利克雷函数D(x)={1,当x为有理数；0,当x为无理数.}
对任何正有理数T,X+T与X同为有理数或无理数,
故D（X+T）=D（X）
所以,狄利克雷函数是一个以任何正有理数为周期的周期函数。
拓展资料：
一、内容：
1、对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数。不为零的常数T叫做这个函数的周期。
2、事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。
二、周期函数的性质：
（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。
（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。
什么是狄立克雷函数怎么证明它是偶函数和周期函数
狄利克雷函数是：当x是有理数时,f(x)=1；当x是无理数时,f(x)=0.
显然该函数是个偶函数,因为x和-x要么都是有理数,要么都是无理数。
容易看出任何正的有理数都是该函数的周期,比如1,0.5都是它的周期,不过由于没有最小的正有理数,它没有最小正周期。
狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。
基本性质
1、定义域为整个实数域R
2、值域为{0,1}
3、函数为偶函数
4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在
5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）
分析性质
1、处处不连续。
2、处处不可导。
3、在任何区间内黎曼不可积。
4、函数是可测函数。
5、在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间《a,b》以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）。
对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）。
狄利克雷函数是周期
狄利克雷函数D(x)={1,当x为有理数；0,当x为无理数.}
对任何正有理数T,X+T与X同为有理数或无理数,
故,D（X+T）=D（X）
所以,狄利克雷函数是一个以任何正有理数为周期的周期函数.（这个函数的周期性也告诉了我们这样一个事实：周期函数不一定具有最小正周期.因为没有最小的正有理数.）
狄利克雷函数为什么是周期函数
周期函数的定义是：若存在T》0使得f(x+T)=f(x), 则f(x)为周期函数，不要求有最小周期。
按照定义验证对任意有理数T》0, 如果x是有理数则x+T也是有理数，所以f(x+T)=1=f(x).
如果x是无理数，则x+T也是有理数，所以f(x+T)=0=f(x).
所以狄利可雷函数以任意正有理数为周期，但没有最小周期。
判断狄利克雷函数是不是周期函数
周期函数定义：若存在T》0使得f(x+T)=f(x), 则f(x)为周期函数，不要求有最小周期。
按照定义验证对任意有理数T》0, 如果x是有理数则x+T也是有理数，所以f(x+T)=1=f(x).
如果x是无理数，则x+T也是有理数，所以f(x+T)=0=f(x).
所以狄利可雷函数以任意正有理数为周期，但没有最小周期。
谢谢，望采纳！
狄利克雷函数怎么证明是周期函数
狄利克雷函数D(x)={1,当x为有理数；0,当x为无理数.}
对任何正有理数T,X+T与X同为有理数或无理数,
故,D（X+T）=D（X）
所以,狄利克雷函数是一个以任何正有理数为周期的周期函数.（这个函数的周期性也告诉了我们这样一个事实：周期函数不一定具有最小正周期.因为没有最小的正有理数.）
